Тест по геометрии для 10 класса

Загрузка...

Тест по геометрии для 10 класса

Поздравляю, вы прошли тест Тест по геометрии для 10 класса.

Вы ответили на %%SCORE%% из %%TOTAL%%.

Итог: %%RATING%%


Ваши ответы выделены серым.
Вопрос 1
Правильный тетраэдр имеет: 10_6
A
Нет центра симметрии; 3 оси симметрии; 6 плоскостей симметрии
B
4 центра симметрии; 4 оси симметрии; нет плоскости симметрии
C
1 центр симметрии; 3 оси симметрии; 3 плоскости симметрии
Пояснение к вопросу 1: 
Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии. Прямая KM, проходящая через середины двух противоположных ребер, является его осью симметрии. Плоскость a, проходящая через ребро AB перпендикулярно к противоположному ребру CD правильного тетраэдра ABCD, является плоскостью симметрии. Правильный тетраэдр имеет три оси симметри и шесть плоскостей симетрии.
Вопрос 2
В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Чему равна боковая поверхность призмы, если периметр сечения равен p, а боковые ребра равны l ? 10_10
A
plcosa
B
2plcosa
C
pl
D
(2pl)2cosa
Пояснение к вопросу 2: 
Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части. Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.
Вопрос 3
Из вершины прямого угла C треугольника АВC восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АC = 3 м, ВC = 4 м, CD = 1 м.
A
2,6 м
B
3 м
C
2,4 м
Пояснение к вопросу 3: 
Пусть прямоугольный треугольник ABC - данный, где AC = 3 м, BC = 4 м, отсюда АВ=5 м (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), CD - перпендикуляр к плоскости ABC, CD = 1 м. DК - перпендикуляр к гипотенузе AB. Известно, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Обозначив искомое расстояние DК от точки D до гипотенузы через х, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику DСК: х² = 1² + СК ². На основании теоремы о трех перпендикулярах прямая СК перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, отрезок СК - высота треугольника АВС. Запишем дважды формулу для нахождения площади треугольника АВС: S = (AC · CB)/2 и S = (CK · AB)/2. Откуда, СК = (AC · CB)/АВ = 12/5 м. Значит, х² = 1 + (12/5)² = (13/5)² или х = 2,6 м.
Вопрос 4
Прямая а не перпендикулярна к плоскости a. Существует ли плоскость, проходящая через прямую а и перпендикулярная к плоскости a? 10_7
A
Таких плоскостей множество
B
Такой плоскости не существует
C
Существует одна
Пояснение к вопросу 4: 
Такая плоскость существует. Через произвольную точку М прямой а проведем прямую р, перпендикулярную к плоскости a, и рассмотрим плоскость b, проходящую через прямые а и p. Плоскость b является искомой, так как она проходит через прямую а и по признаку перпендикулярности двух плоскостей перпендикулярна к плоскости a.
Вопрос 5
Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр к его плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра до других вершин прямоугольника равны 4 м, 5 м, 6 м. Найдите длину перпендикуляра.
A
√5м
B
3 м
C
2 м.
D
2√5/3м
Пояснение к вопросу 5: 
Пусть ABCD - данный прямоугольник, KB - перпендикуляр к плоскости ABC, причем КA = 4 м, КС = 5 м, КD = 6 м. Известно, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Значит, треугольники КBC, КBА и КBD - прямоугольные. Обозначив КB через х, АB через a, BС через b, запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора: x ² + b ² = 5 ², x ² + а ² = 4 ², а ² + b ² = 6 ². Сложив первые два и вычтя третье равенство, получим x ² = 5 или x =√5м.
Вопрос 6
Точка находится на расстояниях 3 м и 4 м от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.
A
3,5 м
B
7 м
C
√7
D
5 м
Пояснение к вопросу 6: 
Пусть и - данные плоскости, плоскость перпендикулярна плоскости , прямая a - линия пересечения плоскостей и . Так как прямая a перпендикулярна прямым AA1 и AA2, то она перпендикулярна плоскости A1AA2. Обозначим через В точку пересечения плоскостью A1AA2 прямой a. Искомое расстояние от точки А до прямой a будет равно длине отрезка АВ. Из прямоугольного треугольника AВA1 имеем AB ² = AA1² + A1B ² = AA2² + AA2² = 3² + 4² = 25 м². Значит, AB = 5 м.
Вопрос 7
Даны плоскость и не лежащая на ней прямая. Отметьте верный, на Ваш взгляд, вариант взаимного расположения данных прямой и плоскости.
A
Прямая и плоскость не пересекаются.
B
Прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
C
Прямая и плоскость либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Пояснение к вопросу 7: 
Известно, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке
Вопрос 8
Даны точки (3; 2; 1), (0; -1; 1), (-1; 0; 2). Укажите точки, симметричные данным относительно плоскости xz.
A
(3; 2; -1), (0; -1; -1), (-1; 0; -2).
B
(-3; 2; -1), (0; -1; -1), (1; 0; -2).
C
(-3; 2; 1), (0; -1; 1), (1; 0; 2).
D
(3; -2; 1), (0; 1; 1), (-1; 0; 2).
Пояснение к вопросу 8: 
Точка, симметричкая точке (3; 2; 1) относительно плоскости xz, лежит на прямой, перпендикулярной плоскости xz. Поэтому у нее те же координаты x и z: x = 3, z = 1. Симметричная точка находится на том же расстоянии от плоскости xz, но по другую сторону от нее. Поэтому координата y у нее отличается только знаком, т.е. y = -2. Итак, точкой, симметричной точке (3; 2; 1) относительно плоскости xz, будет (3; -2; 1). Аналогичные рассуждения справедливы и для других точек.
Вопрос 9
На каком рисунке правильно показано пересечение параллепипеда ABCDA1B1C1D1 с плоскостью, проходящей через вершины A, С и точку М ребра A1B1? 10_5
A
А
B
В
C
Б
Пояснение к вопросу 9: 
Пересечение плоскости с двумя гранями получим, проведя отрезки АС и АМ. Линия пересечения плоскости с гранью A1B1C1D1 параллельна (АС), поэтому построим [MN] параллельно [АС]. Наконец, строим отрезок NC. Трапеция АМNC - искомое сечение.
Вопрос 10
Даны четыре точки: А(2, 7, -3), В(1, 0, 3), С(-3, -4, 5), D(-2, 3, -1). Укажите вектор с координатами (-1, -7, 6).
A
Вектор ВС
B
Вектор АС
C
Вектор АD
D
Вектор DС
Пояснение к вопросу 10: 
Надо найти координаты векторов и сравнить их с данными координатами (-1, -7, 6) .Координатами вектора с началом в точке А1(х1, y1, z1) и концом в точке А2(х2, y2, z2) называются числа х2 - х1, y2 - y1, z2 - z1.Так у вектора DC координаты: -3 - (-2) = -1, -4 -3 = -7, 5 - (-1) = 6ВС - (-4, -4, 2); DC - (-1, -7, 6); AD - (-4, -4, 2); AC - (-5, -11, 8);
Вопрос 11
Существуют ли такие четыре точки пространства A, B, C, D, что AВ = CD = 3 м, AC = 4 м, AD = BD = BC = 5 м?
A
Да, существуют
B
Для решения задачи недостаточно данных
C
Нет, не существуют
Пояснение к вопросу 11: 
Так как числа 3, 4, 5 составляют пифагорову тройку, следовательно, треугольники ABC и ACD существуют и являются прямоугольными. Посмотрим теперь, какие значения может принимать BD. Для этого зафиксируем два положения треугольника ADC, когда его плоскость совпадает с плоскостью треугольника ABC. Первое положение (см. рисунок), когда точка D находится в той же полуплоскости, что и точка B. Второе положение, когда она находится в другой полуплоскости, нежели точка B.В первом положении BD = 4 м. Во втором положении BD = м. Первое число меньше 5, а второе число больше 5. Значит, при каком-то положении треугольника ADC BD = 5. Что и требовалось доказать.
Вопрос 12
Даны векторы a(2; 2n; -1) и b(-1; 1; n). При каком значении n данные векторы перпендикулярны?
A
n = 5
B
n = 4
C
n = 2
D
n = 3
Пояснение к вопросу 12: 
Скалярное произведение двух векторов, с одной стороны, равно сумме произведений соответствующих координат. С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Значит, поскольку векторы по условию перпендикулярны, скалярное произведение данных векторов равно нулю. Следовательно, 2 · (-1) + 2n · (-1) + (-1) · n = 0 или n = 2.
Вопрос 13
Два отрезка длин 2 м и 3 м упираются концами в две параллельные плоскости. Проекция первого отрезка (длины 2 м) на плоскость равна 1 м. Вычислите проекцию второго отрезка.
A
2√6м
B
√6м
C
1,5 м.
D
2,5 м
Пояснение к вопросу 13: 
Пусть и - данные плоскости, точки A и B принадлежат плоскости , а точки C и D принадлежат плоскости , и пусть AC = 2 м, а BD = 3 м. Треугольник AA1C прямоугольный по построению. Значит, квадрат расстояния между плоскостями равен AA1 ² = AC ² - A1C ² = 4 - 1 = 3 м. Опустим из точки B на плоскость перпендикуляр ВВ1. Две прямые AA1 и ВВ1, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны, а отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Следовательно, AA1 ² = BB1 ² = 3 м². Из прямоугольного треугольника BB1D найдем проекцию B1D отрезка BD на плоскость : B1D ² = BD ² - BB1 ² = 9 - 6 = 6 м². Таким образом, B1D =√6м.Верный ответ - Б. √6м.
Вопрос 14
Даны точки A(1, 2, 3), B(0,1, 2), C(0, 0, 3), D(1, 2, 0). Какие из этих точек лежат в плоскости xy ? 10_3
A
C D
B
B A
C
D
D
C
Пояснение к вопросу 14: 
У точек плоскости xy координата z равна нулю. Поэтому только точка D лежит в этой плоскости.
Вопрос 15
Из вершины прямого угла C треугольника АВC восставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треугольника, если АC = 3 м, ВC = 4 м, CD = 1 м.
A
2,4 м
B
3 м
C
2,6 м
Пояснение к вопросу 15: 
Пусть прямоугольный треугольник ABC - данный, где AC = 3 м, BC = 4 м, отсюда АВ=5 м (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), CD - перпендикуляр к плоскости ABC, CD = 1 м. DК - перпендикуляр к гипотенузе AB. Известно, что прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна любой прямой этой плоскости. Обозначив искомое расстояние DК от точки D до гипотенузы через х, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику DСК: х² = 1² + СК ². На основании теоремы о трех перпендикулярах прямая СК перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, отрезок СК - высота треугольника АВС. Запишем дважды формулу для нахождения площади треугольника АВС: S = (AC · CB)/2 и S = (CK · AB)/2. Откуда, СК = (AC · CB)/АВ = 12/5 м. Значит, х² = 1 + (12/5)² = (13/5)² или х = 2,6 м.
Если вы закончили, то нажмите кнопку ниже. Все вопросы, на которые вы не ответили будут отмечены знаком "Ошибка". Выводы
Количество оставшихся вопросов: 15.
Все
Назад
Закрашенные квадратики - это завершенные вопросы.
12345
678910
1112131415
Конец
Назад

В тесте по геометрии содержится пятнадцать вопросов, на каждый из которых имеется несколько ответов, один из них верный. Тест составлен по учебнику геометрии для десятого класса средней школы и может быть использован на уроках в качестве методического пособия. Основные вопросы в нем подобраны со средним уровнем сложности и поэтому, его можно использовать как для индивидуальной, так и для групповой проверки знаний. Кроме того, при ошибке, в тесте можно посмотреть правильный ответ и затем, разобравшись, пройти тест повторно. Количество попыток прохождения теста не ограничено.